回転体の表面積

問題

曲線 $x = f(t),\ y = g(t) \ (g(t) \geq 0)$ $(\alpha \leqq t \leqq \beta)$ をx 軸の周りに回転して得られる図形の表面積を求めよ.

解

求めたい図形を 3 次元座標で表現すると,

$
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
x = f(t) & \\
y = g(t) \cos \theta &　(0 \leqq \theta \leqq 2 \pi) \\
z = g(t) \sin \theta &
\end{cases}
\end{eqnarray}
$

となる. この図形の表面積を求めればいい. $\boldsymbol{r} = (x,\ y,\ z)$ とすると,

$\dfrac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial t} = \left(\dfrac{df}{dt},\ \dfrac{dg}{dt}\cos \theta,\ \dfrac{dg}{dt}\sin \theta\right),\ \dfrac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial \theta} = \left(0,\ -g(t)\sin \theta,\ g(t)\cos \theta\right)$

$
\begin{align}
\left | \dfrac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial t} \times \dfrac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial \theta} \right | &= \left | \begin{vmatrix} \boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}_3 \\
\dfrac{df}{dt} & \dfrac{dg}{dt}\cos \theta & \dfrac{dg}{dt}\sin \theta \\
0 & -g(t)\sin \theta & g(t)\cos \theta
\end{vmatrix} \right |\\
&= \left | \left ( g(t) \cdot \dfrac{dg}{dt},\ -g(t) \dfrac{df}{dt} \cos \theta,\ -g(t) \dfrac{df}{dt} \sin \theta \right ) \right |\\
&= g(t) \sqrt{\left( \dfrac{df}{dt} \right)^2 + \left( \dfrac{dg}{dt} \right)^2}
\end{align}
$

であるから, 曲面積を $S$, 面積素を$d\boldsymbol{S}$, 曲面の領域を$D$ とすると,

$
\begin{align}
S &= \int \int_D d\boldsymbol{S}\\
&= \int_{0}^{2\pi} \int_{\alpha}^{\beta} \left | \dfrac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial t} \times \dfrac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial \theta} \right | dt d\theta\\
&= 2\pi \int_{\alpha}^{\beta} g(t) \sqrt{\left( \dfrac{df}{dt} \right)^2 + \left( \dfrac{dg}{dt} \right)^2} dt //
\end{align}
$

曲線が $y = f(x)$ で与えられているときは, よく知られた(?) 公式

$$
S = 2\pi \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \sqrt{1 + \left( \dfrac{df}{dx} \right)^2} dx
$$

へと書き換えることが出来る.