Vieta の公式 - Lilliput Steps

問題 :

Vieta の公式

$\dfrac{2}{\pi} = \sqrt{\dfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{2}}}} \cdot \cdots$

を証明せよ.

解法 :

$\cos \dfrac{\pi}{4} = \sqrt{\dfrac{1}{2}}, \cos\dfrac{\pi}{2^n} = \sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos\dfrac{\pi}{2^{n-1}}} (n \geq 2)$ であることから,
右辺の無限積は $\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\cos\dfrac{\pi}{2^n}$ であることが分かる.

この無限積を別の方法で表すことを考える. 三角関数の加法定理

$\sin x = 2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}$

を思い出すと,

$\begin{align} \sin x &= 2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2} \\ &= 4\sin\dfrac{x}{4}\cos\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{4} \\ &= \cdots \\ &= 2^n \sin\dfrac{x}{2^n}\cos\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{4}\cdots\cos\dfrac{x}{2^n} \end{align}$

これより, 等式

$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\cos\dfrac{\pi}{2^n} = \lim_{n \to \infty}\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{2}}{2^n\sin\dfrac{\pi}{2^{n+1}}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{2^n\sin\dfrac{\pi}{2^{n+1}}}$

を得る.

右辺の分母の極限は

$\begin{align} \displaystyle\lim_{n \to \infty} 2^n\sin\dfrac{\pi}{2^{n+1}} &= \dfrac{\pi}{2} \lim_{n \to \infty}\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{2^{n+1}}}{\dfrac{\pi}{2^{n+1}}} \\ &= \dfrac{\pi}{2} \lim_{\theta \to 0} \dfrac{\sin \theta}{\theta} \left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}} を \theta とした\right) \\ &= \dfrac{\pi}{2} \end{align}$

よって,

$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\cos\dfrac{\pi}{2^n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\dfrac{\pi}{2}} = \dfrac{2}{\pi}$

となり, 求める式が得られた. $//$