ネイピア数の定義の数列の有界性と単調性の検証

問題

数列

$$a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n \hspace{1.0cm} (n \in \mathbb{Z}^{+}) $$

を考える。

① $a_n$ は単調に増加することを示せ。すなわち,

$$a_n < a_{n+1}$$

を示せ。

② $a_n$ は上に有界であることを示せ。

解答

①
$a_n$ を二項定理により展開すると,

$
\begin{align}
a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n &= \sum_{k = 0}^{n} {_n}\text{C}{_k} \dfrac{1}{n^k}\\
&= \sum_{k=0}^n \dfrac{{_n}\text{P}{_k}}{k!} \dfrac{1}{n^k} \\
&= \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} \cdot \dfrac{n}{n} \cdot \dfrac{n-1}{n} \cdots \dfrac{n-k+1}{n}
\end{align}
$

となる. ここで,
$
\begin{align}
a_{n+1} - a_n &= \dfrac{1}{(n+1)^{n+1}} + \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} \left(\dfrac{{_{n+1}}\text{P}{_k}}{(n+1)^k} - \dfrac{{_{n}}\text{P}{_k}}{n^k}\right)
\end{align}
$

であるが, $0 \leqq i \leqq k - 1$ なる整数 $i$ について,

$
\begin{align}
\dfrac{n+1 - i}{n+1} - \dfrac{n-i}{n} &= \dfrac{n^2 + n - ni - (n^2 - ni + n - i)}{n(n+1)} \\
&= \dfrac{i}{n(n+1)}\\
&\geqq 0
\end{align}
$

等号は $i = 0$ のときのみ成立。

より, $\dfrac{n+1 - i}{n+1} \geqq \dfrac{n-i}{n}$が成立するので, これを $i = 0 \cdots k$ まで掛けあわせて,

$$\dfrac{{_{n+1}}\text{P}{_k}}{(n+1)^k} > \dfrac{{_{n}}\text{P}{_k}}{n^k}$$

が得られる。

$\therefore a_{n+1} - a_n > 0,\ a_n < a_{n+1} \hspace{2.0cm}//$

②
任意の正整数 $n$ と非負整数 $k$ について, $\dfrac{1}{k!} \leqq \dfrac{1}{2^{k - 1}}$ と $\dfrac{1}{n^{k}} \leqq \dfrac{1}{{_n}\text{P}{_k}}$ が成立する。

これらを用いて ① の $a_n$ を評価すると,

$
\begin{align}
a_n &= \sum_{k=0}^n \dfrac{{_n}\text{P}{_k}}{k!} \dfrac{1}{n^k} \\
&\leqq \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{2^{k - 1}}
\end{align}
$

となる。 ①より $a_n$ は単調増加であった。
よって,

$
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} a_n \leqq \sum_{k = 0}^{\infty} \dfrac{1}{2^{k - 1}} = 4
\end{align}
$

だから, $a_n$ は上に有界である。

単調増加して有界な数列は有限の値に収束する ので, この数列の極限値を $e$ と定義しよう。