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Lilliput Steps

小さな一歩から着実に. 数学やプログラミングのことを書きます.

Vieta の公式

問題 :

Vieta の公式

$$\dfrac{2}{\pi} = \sqrt{\dfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{2}}}} \cdot \cdots$$

を証明せよ.


解法 :

$\cos \dfrac{\pi}{4} = \sqrt{\dfrac{1}{2}}, \cos\dfrac{\pi}{2^n} = \sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos\dfrac{\pi}{2^{n-1}}} (n \geq 2)$ であることから,
右辺の無限積は$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\cos\dfrac{\pi}{2^n}$ であることが分かる.

この無限積を別の方法で表すことを考える. 三角関数の加法定理

$$\sin x = 2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}$$

を思い出すと,

$\begin{align}
\sin x &= 2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2} \\
&= 4\sin\dfrac{x}{4}\cos\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{4} \\
&= \cdots \\
&= 2^n \sin\dfrac{x}{2^n}\cos\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{4}\cdots\cos\dfrac{x}{2^n}
\end{align}
$

これより, 等式

$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\cos\dfrac{\pi}{2^n} = \lim_{n \to \infty}\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{2}}{2^n\sin\dfrac{\pi}{2^{n+1}}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{2^n\sin\dfrac{\pi}{2^{n+1}}}$

を得る.

右辺の分母の極限は

$\begin{align}
\displaystyle\lim_{n \to \infty} 2^n\sin\dfrac{\pi}{2^{n+1}} &= \dfrac{\pi}{2} \lim_{n \to \infty}\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{2^{n+1}}}{\dfrac{\pi}{2^{n+1}}} \\
&= \dfrac{\pi}{2} \lim_{\theta \to 0} \dfrac{\sin \theta}{\theta} \left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}} を \theta とした\right) \\
&= \dfrac{\pi}{2}
\end{align}$

よって,

$$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\cos\dfrac{\pi}{2^n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\dfrac{\pi}{2}} = \dfrac{2}{\pi}$$

となり, 求める式が得られた. $//$