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Lilliput Steps

小さな一歩から着実に. 数学やプログラミングのことを書きます.

二階微分のラプラス変換

問題 : $\mathcal{L}\left[\dfrac{d^2}{dt^2}f(t)\right]$ を求めよ.


解答 :
まず, $f(t)$ の一階微分ラプラス変換

$$\mathcal{L}\left[\dfrac{d}{dt}f(t)\right] = \int_{0}^{\infty}\dfrac{df}{dt}e^{-st}dt$$

を求める. これは, 部分積分法を用いると


$
\begin{align}
\int_{0}^{\infty}\dfrac{df}{dt}e^{-st}dt &= \left[f(t)e^{-st}\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} f(t)\{-s\}e^{-st} dt \\
&= \left[f(t)e^{-st}\right]_{0}^{\infty} +s \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt \\
&= \left(\lim_{t \to \infty}f(t)e^{-st}\right) - f(0) + s \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st}dt
\end{align}
$

ここで, 極限 $\displaystyle\left(\lim_{t \to \infty}f(t)e^{-st}\right)$ が 0 に収束するものとして考え, $F(s) = \mathcal{L} \left[f(t)\right]$ とすると,

$\displaystyle\left(\lim_{t \to \infty}f(t)e^{-st}\right) - f(0) + s \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st}dt
= sF(s) - f(0)
$

を得る.

これを用いて, $\mathcal{L}\left[\dfrac{d^2}{dt^2}f(t)\right] = \displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{d^2f}{dt^2}e^{-st}dt$ で部分積分法を用いると

$
\begin{align}
\int_{0}^{\infty}\dfrac{d^2f}{dt^2}e^{-st}dt &= \left[\dfrac{df}{dt}e^{-st}\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \dfrac{df}{dt}\{-s\}e^{-st} dt \\
&= \left[\dfrac{df}{dt}e^{-st}\right]_{0}^{\infty} +s \int_{0}^{\infty} \dfrac{df}{dt}e^{-st} dt \\
&= \left(\lim_{t \to \infty}\dfrac{df}{dt}e^{-st}\right) - \left(\dfrac{df}{dt}\right)_{t=0} + s (sF(s) - f(0))
\end{align}
$

一階微分のときと同様に, 右辺第一項の極限が 0 に収束するものとして考えると,

$
\begin{align}
\mathcal{L}\left[\dfrac{d^2f}{dt^2}\right] = s (sF(s) - f(0)) -\left(\dfrac{df}{dt}\right)_{t=0} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)
\end{align}
$

を得る. $//$

同様にして, たとえば

$
\begin{align}
\mathcal{L}\left[\dfrac{d^3f}{dt^3}\right] &= s^3F(s) - s^2f(0) - sf'(0) - f''(0) \\
\mathcal{L}\left[\dfrac{d^nf}{dt^n}\right] &= s^nF(s) - \sum_{i = 0}^{n - 1}s^{n - 1 - i}f^{(i)}(0)
\end{align}
$

を得る. (証明してみましょう.)