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Lilliput Steps

小さな一歩から着実に. 数学やプログラミングのことを書きます.

$\sin (\omega t)$ のラプラス変換

神から $\mathcal{L}[\sin (\omega t)]$ を求めるように言われたので, 神が仰っていた方法で求めます.

まず, $\mathcal{L}[\sin (\omega t)] = \displaystyle\int_{0}^{\infty} \sin(\omega t)e^{-st}dt$ であることを思い出す.
オイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ を $\theta = \omega t$ および $\theta = - \omega t$ に用いることで,

$$\sin(\omega t) = \dfrac{e^{i\omega t} - e^{-i\omega t}}{2i}$$

を得る. これを最初の式に代入することで,

$\displaystyle\int_{0}^{\infty} \sin(\omega t)e^{-st}dt = \dfrac{1}{2i} \left[ \int_{0}^{\infty} \left\{e^{(i\omega - s)t} - e^{-(i\omega + s)t} \right\} dt \right]$

を得る. ここで, $e^z$ は正則な関数であるから, 積分路によらず定積分の値は定まる. 実関数 $e^x$ を不定積分するのと同じようにこの式を線積分をすると,

$
\begin{align}
\dfrac{1}{2i} \left[ \displaystyle\int_{0}^{\infty} \left\{e^{(i\omega - s)t} - e^{-(i\omega + s)t} \right\} dt \right] &= \dfrac{1}{2i} \dfrac{1}{i\omega - s}\left[e^{(i\omega - s)t}\right]_{0}^{\infty} + \dfrac{1}{2i}\dfrac{1}{i\omega + s}\left[e^{-(i\omega + s)t}\right]_{0}^{\infty} \\
&= \dfrac{1}{2i} \dfrac{1}{i\omega - s}\left\{\left( \lim_{t \to \infty} e^{(i\omega - s)t}\right) - 1\right\} + \dfrac{1}{2i}\dfrac{1}{i\omega + s}\left\{\left( \lim_{t \to \infty} e^{-(i\omega + s)t}\right) - 1\right\}
\end{align}
$

ここで, 右辺第一項目の極限
$$\lim_{t \to \infty} e^{(i\omega - s)t}$$
の値を考える. 最初に使ったオイラーの公式を逆に使うことで,
$\begin{align}
\lim_{t \to \infty} e^{(i\omega - s)t} &= \lim_{t \to \infty} e^{-st}e^{i\omega t} \\
&= \lim_{t \to \infty} e^{-st}\{\cos (\omega t) + i \sin (\omega t) \}
\end{align}$

を得る. ここで, $\text{Re}(s) > 0$ であれば*1, 次の 2 つの不等式

$-e^{-st} \leq e^{-st}\cos (\omega t) \leq e^{-st}$ ($\because -1 \leq \cos (\omega t) \leq 1$)
$-e^{-st} \leq e^{-st}\sin (\omega t) \leq e^{-st}$ ($\because -1 \leq \sin (\omega t) \leq 1$)

が成り立つから, はさみうちの原理より,
$\displaystyle\lim_{t \to \infty} e^{-st}\{\cos (\omega t) + i \sin (\omega t) \} = 0 + i \cdot 0 = 0$.

右辺第二項の極限も同様に計算することで$0$ になるから,
$
\begin{align}
\mathcal{L}[\sin (\omega t)] &= \dfrac{1}{2i} \dfrac{1}{i\omega - s}(0 - 1) + \dfrac{1}{2i}\dfrac{1}{i\omega + s}(0 - 1) \\
&= -\dfrac{1}{2i}\left(\dfrac{1}{i\omega - s}+\dfrac{1}{i\omega + s}\right)\\
&= -\dfrac{1}{2i}\left(\dfrac{i\omega - s + i\omega + s}{-\omega^2 - s^2}\right)\\
&= \dfrac{\omega}{\omega^2 + s^2} //
\end{align}
$

*1:授業では何の説明も無しに$s$ が出てきたが, ネットの資料などをあさった感じ複素数であり, 実部は0より大きいときにラプラス変換ができると書かれている.