問題 Gamma 関数の相反公式$$\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \dfrac{\pi}{\sin(\pi z)} (z \in \mathbb{C}, 0 を示せ.ここで, $\Gamma(z) = \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{z-1}e^{-t}\,dt$ です.たとえば, この公式を認めると$$ \left\{\Gamma\left(\dfrac{1}{…

問題$\mathbb{R}^n$ にあって互いの距離がすべて $1$ であるような $n+1$ 個の点のなす図形を$n$ 次元の 1 辺の長さが $1$ の正単体という. 正単体の超体積を $n$ の式で表わせ.

問題曲線 $x = f(t),\ y = g(t) \ (g(t) \geq 0)$ $(\alpha \leqq t \leqq \beta)$ をx 軸の周りに回転して得られる図形の表面積を求めよ.

問題 楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ の弧長を求めよ. ただし $a > b$ とする.

問題 : $\mathcal{L}\left[\dfrac{d^2}{dt^2}f(t)\right]$ を求めよ.

神から $\mathcal{L}[\sin (\omega t)]$ を求めるように言われたので, 神が仰っていた方法で求めます.

(1) $z=re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$としたとき, Cauchy-Riemann の微分方程式は, 実部を$u(r,\ \theta)$, 虚部を$v(r, \theta)$ とすると $\dfrac{\partial u}{\partial r} = \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial v}{\partial \theta},\ \dfrac{\parti…